古希臘數(shù)學家、哲學家泰勒斯是歷史上第一位留名的數(shù)學家。在后世的文獻中，記載了他的許多壯舉，例如計算金字塔的高度，證明泰勒斯定理，引入了許多幾何命題等等。泰勒斯是學識淵博的智者，是米利都學派的創(chuàng)始人，蘇格拉底時代“七賢之首”。相傳他是第一個問出“什么是世界本源”問題的人。更重要的是，泰勒斯用理性的思想，擺脫神話預言，通過自然現(xiàn)象尋求真理，這最終引導人類文明邁向了科學之路。

(資料圖片)

撰文 | 蔡天新

不懂幾何學的請勿入內。

——柏拉圖

1米利都的泰勒斯

在人類文明史上不乏接踵而至的巧合。例如，1616年4月23日，英語世界最偉大的作家莎士比亞和西班牙語世界最偉大的作家塞萬提斯同日辭世，這個日子后來成為“世界讀書日”。此外，意大利畫家、“文藝復興時期最完美的代表”達·芬奇出生于儒略歷1452年4月15日，換算成公歷也是4月23日。1642年1月8日，意大利最偉大的科學家伽利略去世，不出一年，英國最偉大的科學家牛頓出生。而更早一些時候，古希臘的數(shù)學家和哲學家人才輩出，就如同文藝復興時期意大利的作家和藝術家那樣層出不窮。

1266年，即大詩人但丁降生佛羅倫薩的第二年，這座城市又誕生了那個世紀最杰出的藝術家喬托。意大利人一般認為, 藝術史上最偉大的時代, 就是從他開始的。而按照英國藝術史家貢布里奇爵士的說法，在喬托以前, 人們看待藝術家就像看待一個出色的木匠或裁縫一樣，他們甚至經常不在自己的作品上署名；而在喬托以后, 藝術史就成了藝術家的歷史。

相比之下，數(shù)學家要幸運得多，第一個留名的數(shù)學家是古希臘的泰勒斯（約公元前625-前547），他生活的年代比喬托早了將近19個世紀。泰勒斯出生在愛琴海東岸小亞細亞的米利都城（今天土耳其亞洲部分西海岸），它是愛奧尼亞12個城邦之一。愛奧尼亞原本是希臘一個分散的部落，移民到小亞細亞后才形成一個共同體，那個地區(qū)也因此被稱作愛奧尼亞，他依靠貿易富強起來，進而成為聯(lián)盟。

泰勒斯被譽為前蘇格拉底時代的“希臘七賢”之首，其余六位分別是雅典的梭倫（Solon）、斯巴達的開倫（Chilon）、羅德島的克里奧布拉斯（Cleobulus）、科林斯的佩立安得（Periander）、累斯博斯的庇達克斯（Pittacus）和同屬小亞細亞的拜阿斯（Bias）。由于年代久遠，加上當時人們的思想只能口頭傳播，除了泰勒斯和梭倫以外，其余五位賢人的生平事跡皆不可考。我們只知道他們都是政治家和統(tǒng)治者，每位只有一兩句格言流傳下來。

例如，拜阿斯的名言是：“人多手腳亂”，佩立安得的名言是：“行事前須三思”，庇達克斯的名言是：“抓住時機”，克里奧布拉斯的名言是：“凡事中庸”?！胺彩轮杏埂迸c梭倫的名言“避免極端”一樣，與中國儒家思想有相近之處；而佩立安得的名言接近我國的成語“三思而后行”，后者最初說的是魯國大夫季文子，可是，連孔子都不贊成他的患得患失。泰勒斯和梭倫有許多格言流傳后世，我特別欣賞的是泰勒斯的“認識你自己”和梭倫的“言語是行動的鏡子”。

米利都是當時希臘在東方最大的城市，米利都原本是克里特的一個地區(qū)名?？梢姡用翊蠖嗍莵碜钥死锾貚u的移民。在米利都，商人統(tǒng)治代替了氏族貴族政治，因而思想較為自由和開放，產生了多位文學、藝術、科學和哲學領域的著名人物，盲詩人荷馬和后來的歷史學家希羅多德就來自愛奧尼亞。據(jù)說泰勒斯早年也經商，曾游歷埃及和巴比倫，學會并掌握了數(shù)學和天文學知識，他本人后來的研究除了這兩個領域以外，還涉及物理學、工程和哲學。

“希臘七賢”中，唯有泰勒斯是知識淵博的學者。泰勒斯創(chuàng)立了米利都學派，企圖擺脫宗教，通過自然現(xiàn)象去尋求真理。他認為處處有生命和運動，并以水為萬物的本源。這里我們講述一則與水有關的軼事，青年時期泰勒斯趁從商之際，廣泛接觸社會。一次，他用騾子運鹽，一頭騾子滑到在溪流中，鹽被溶解了一部分，負擔頓時減輕了許多，于是騾子每過一次溪就打一個滾。泰勒斯為了改變這頭畜生的惡習，讓它馱上海綿，結果吸水之后，重量倍增，從此這頭騾子再也不敢故伎重演了。

米利都的泰勒斯像

據(jù)說泰勒斯在埃及時，就熟練掌握了數(shù)學技巧，他曾利用日影和桿高的比例關系算出金字塔的高度。有一則廣為傳頌的故事，在一個艷陽天，泰勒斯在地上垂直插了一根桿子。等到桿子的影子與桿子的高度（也有記載是身高與人影）等長時，他測量了金字塔影子的長度，此長度即為金字塔的高度。不過，由于金字塔的底部較大，不是一個點，故而只在特殊的日光角度才能測準。這個故事的升級版是，泰勒斯在金字塔影子的端點豎立一根桿子，借助太陽光的投影，構成兩個相似三角形，塔高與桿高之比等于兩者影長之比。

2哲人眼里的泰勒斯

雖說泰勒斯已留名青史，但有關他的生平我們仍知之甚少。幸運的是，有幾位后世哲學家和作家的著作里，提到他的一些軼事。從中，我們可以了解到他的為人和氣質?；蛟S，這是最早的數(shù)學故事。遺憾的是，雖說古代中國也出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學家，卻沒有形成這樣的文化氛圍，人文學者極少關心科學家的工作。少數(shù)的例外是，莊子在《天下篇》記載過名家惠子闡述的無窮概念，《周髀算經》里也寫到周公與大夫商高談論勾股數(shù)。

柏拉圖既是哲學家，也是數(shù)學家，據(jù)說他創(chuàng)辦的學園門口寫著，“不懂幾何學的請勿入內”，而在學園的后門又寫著，“懂哲學者方可治國”?！短┌⑻┑缕肥前乩瓐D的一篇重要作品，泰阿泰德（Theaetetus，約前417-前369）是蘇格拉底的學生、柏拉圖的師兄，在老師去世時與柏拉圖同在現(xiàn)場。他是數(shù)學家兼哲學家、立體幾何的創(chuàng)立者，是《泰阿泰德篇》（還有柏拉圖另一部著作《智者篇》）的主要對話者。

柏拉圖在此篇探討了“知識”的本性，可看作是對老師和師兄的一種紀念。關于“什么是知識”，蘇格拉底告訴年輕的泰阿泰德三個答案，分別是“感覺”、“信念”和“信念附加上說理”，但最終都被他否定了，因為對于求知者來說，最重要的在于過程。書中記述了泰勒斯的一樁軼事，有一次他仰觀天象，不小心跌進旁邊的溝渠，一位長相秀美的色雷斯女仆嘲笑他說，“近在足前您都看不見，怎么會知道天上的事情呢？”對此泰勒斯并未回應，倒是雅典執(zhí)政官梭倫的發(fā)問刺痛了他。

泰勒斯可能是許許多多終身獨居的智者中的第一人。據(jù)一世紀古羅馬傳記作家普魯塔克記載（此時離開泰勒斯辭世已經六個多世紀了），有一次，比泰勒斯年長十四歲的梭倫到米利都，探望了泰勒斯。梭倫是一位政治家、改革家、立法者，公元前594年出任雅典城邦的第一任執(zhí)政官。此外，他還是一位成功的商人，喜歡游歷名山大川，考察社會風情，甚至在詩歌創(chuàng)作方面也頗有成就，有“雅典第一位詩人”的美譽。雖然梭倫的詩歌主要贊頌雅典城邦和法律，但他也會抨擊、譴責貴族的貪婪、專橫和殘暴，堅信道德勝于財富。

美國眾議院內的梭倫像

例如，梭倫曾在詩中寫道：“作惡的人每每致富，而好人往往受窮；可是我們不愿意，把道德與財富交換；因為道德是永存的，而財富每天更換主人。”由此可見，梭倫是一個很有個性的人。泰勒斯有一句格言，“過分穩(wěn)健只會帶來災難”，這與梭倫的格言“避免極端”頗為矛盾。果然，說著說著兩人之間起了微小的波瀾，梭倫問泰勒斯為何到現(xiàn)在還不結婚，泰勒斯聽了顯然不悅，未予回答。

幾天以后，情感豐富，喜歡作詩和旅行的梭倫得到消息，有位不幸死于雅典的年輕人可能是他兒子，這令他悲痛欲絕。這時泰勒斯笑著出現(xiàn)了，在告之消息純屬虛構以后，聲明自己不愿娶妻生子的原因，就是害怕面對失去親人的痛苦。據(jù)說泰勒斯中年時，母親催促過他成婚，答曰，“還沒到那個時候?！焙髞聿饺胪砟?，老母親又催婚，答曰，“現(xiàn)在已過了那個時候?！?/p>

前文提到布魯塔克，他的著作在文藝復興時期很受歡迎，法國作家蒙田對他推崇備至，莎士比亞不少劇作也取材于他的著作。每次記載以后，他還有評述，例如針對泰勒斯的婚姻觀，他這樣寫道，“如果由于害怕失掉就不去獲得必需的東西，這既不合理，也不足貴……無論如何，我們決不可用貧窮來防止喪失財產，用離群索居來防止失掉朋友，用不育子嗣來防止兒女夭折；應該以理性來對付一切不幸?！?/p>

關于泰勒斯，柏拉圖的弟子、比泰勒斯晚近三個世紀的哲學家亞里士多德在他的著作《形而上學》中也講過一則故事。有一次，泰勒斯依據(jù)他掌握的農業(yè)知識和氣象資料，預見到翌年橄欖必將獲得大豐收，于是集資提前低價租借了該地區(qū)所有的榨油機，后來果然如他所料，榨油機供不應求。于是他便高價出租，結果獲得巨額財富。他這樣做并不是想成為富翁，而是想回答有些人對他的譏諷：如果你真聰明的話，為什么不發(fā)財呢？同時他也告誡人們，知識勝于財富。

而泰勒斯與梭倫之間的交往，則可能是有史以來數(shù)學家與政治家、數(shù)學家與詩人之間最早的友誼。

3多才多藝的泰勒斯

第一個留名的數(shù)學史家歐德莫斯（Eudemus of Rhodes,約前4世紀下半葉）是亞里士多德的得意門生，編寫有算術史、幾何史和天文學史方面的著作，可惜均已失傳，他還與人合編過恩師亞里士多德的全集。幸而普羅克洛斯（Proclus,410-485）在為《幾何原本》作注時寫下《歐德莫斯概要》，主要取材于歐德莫斯的《幾何學史》。歐德莫斯在書中寫道，“……（泰勒斯）將幾何學研究（從埃及）引入希臘，他本人發(fā)現(xiàn)了許多命題，并指導學生研究那些可以推出其他命題的基本原理?！?/p>

普羅克洛斯是柏拉圖學園導師、最后一任園長，他有一句名言是，“哪里有數(shù)，哪里就有美”。正是由于他的記載，我們才知道，泰勒斯證明了包括泰勒斯定理在內平面幾何中的五個定理，它們均被收入現(xiàn)今中學的《數(shù)學》教科書。泰勒斯證明了：“圓的直徑將圓分成兩個相等的部分；等腰三角形的兩底角相等；兩條相交直線形成的對頂角相等；如果兩個三角形有兩角、一邊對應相等，那么這兩個三角形全等。”

當然，泰勒斯最有價值的數(shù)學工作是如今被稱作“泰勒斯定理”的命題：“半圓上的圓周角是直角?！北娝苤疤├账苟ɡ怼笔菙?shù)學史上第一個以數(shù)學家名字命名的定理。歐幾里得在《幾何原本》中，將其列為第三卷命題31。所謂圓周角是指頂點在圓上，兩條邊與圓的交點處于一條直線的兩端。其證明利用了平行公設的等價形式，即三角形的三個內角和為180度。具體如下：

設直徑AC把圓等分，圓周角頂點為B，要證角ABC為直角。連接圓心0與B點，由等腰三角形兩底角相等可知，角A 等于角ABO，角C等于角CBO，于是角A加角C等于角ABC。再由于三角形內角和為180度，故角ABC是90度，即為直角。

在數(shù)學以外，泰勒斯也成就非凡。他有一句名言，“水是最好的”，他認為，陽光蒸發(fā)水分，霧氣從水面上升而形成云，云又轉化為雨，因此斷言水是萬物的本質。值得一提的是，泰勒斯把金屬也歸于“水”的范疇，大概因為它能熔化。他還認為，地球是浮在水面的圓盤，地震是地球借水的漂移發(fā)生的震動。雖然此觀點后來被證明有誤，但他敢于揭露大自然的本來面目，并建立起自己的思想體系（他還認定地球是個圓盤，漂浮在水面上），因此被公認為是希臘哲學的鼻祖。

事實上，泰勒斯第一個提出了“什么是萬物本源”這個哲學問題，并嘗試給予回答的人。泰勒斯首創(chuàng)理性主義精神、唯物主義傳統(tǒng)和普遍性原則，在神學方面他是個多神論者，認為世間充斥各種神靈。雖然如此，他還是從自然界本身去尋求原因，而不是從人形的諸神那難以捉摸的性格去尋求原因，去解釋世界。這是泰勒斯的重要性之所在。晚年泰勒斯招收學生，創(chuàng)立了米利都學派。

在物理學方面，琥珀摩擦產生靜電的發(fā)現(xiàn)也歸功于泰勒斯。他對天文學頗有研究，曾估量太陽和月球的大小，并確認了小熊星座，指出其有助于航海事業(yè)，并首次將一年的長度確定為365天。在柏拉圖出生兩年前去世的希羅多德享有“歷史之父”美譽，他的著作《歷史》是西方第一部完好流傳下來的散文作品，因此也被認為是西方文學的奠基人、人文主義的杰出代表。

希羅多德《歷史》的拉丁文版（1494，威尼斯）

希羅多德書中記敘了泰勒斯曾準確地預測過公元前585年的日食，使得戰(zhàn)爭停止。戰(zhàn)斗雙方是呂底亞的阿麗亞特斯和米地亞的基亞克薩里斯，連續(xù)五年未見勝負，造成生靈涂炭、橫尸遍野。泰勒斯預先測算有日食發(fā)生，便揚言上蒼反對戰(zhàn)爭，必用日食警告。結果兩軍酣戰(zhàn)之際，白晝頓成黑夜，將士因而十分驚恐，他們想起泰勒斯的敬告，于是停戰(zhàn)和好。那是西方有明確記載的最早的日食，確切日期是5月28日。

至于泰勒斯所用的方法，后世學者認為可能是古代巴比倫人發(fā)現(xiàn)的沙羅周期（Saros）*。也有現(xiàn)代學者認為，泰勒斯的年代尚不具備精確預言一次日食地點和時間的知識。歐德莫斯相信，泰勒斯已經知道按春分、夏至、秋分和冬至來劃分的四季是不等長的。

*沙羅周期是天文學術語，為日食和月食的周期，長度約6585.32天，相當于18年又10.3或11.3日（視期間有5個還是4個閏年）。在每個沙羅周期內，約有43次日食和28次月食。

4泰勒斯的學生和遺產

比“泰勒斯定理”更為重要的是，泰勒斯引入了命題證明的思想。泰勒斯開啟了數(shù)學命題證明的先河，這標志著人類對客觀事物的認識從感性上升到了理性。這是數(shù)學史上一次非同尋常的飛躍，幾個世紀以后被歐幾里得在寫作《幾何原本》時發(fā)揚光大。不僅如此，泰勒斯的證明還借助了一些公理或真實性已經得到確認的命題。雖然沒有原始文獻可以證實泰勒斯取得所有這些成就，但以上記載流傳至今，使得他獲得了第一個數(shù)學家和論證幾何學鼻祖的美名。

泰勒斯平常談吐幽默，且富有哲理。他對于“怎樣過正直的生活？”的回答是：“不

要做你討厭別人做的事情。”這與孔子在《論語·顏淵》中的“己所不欲，勿施于人”異曲同工。當有人問，“你見過的最奇怪的事情是什么？”泰勒斯回答，“長壽的暴君”。又“當你做出一個發(fā)現(xiàn)時，想得到些什么？”從未獲得任何獎賞的他答道，“當你在告訴別人時，不說是你的發(fā)現(xiàn)，而說是我的發(fā)現(xiàn)，這就是對你的最高獎賞?！?/p>

泰勒斯的學說和思想有著巨大的影響力，他開創(chuàng)性地對世界進行了理性的探索，成為第一個名副其實的數(shù)學家和科學家。在他的帶動之下，希臘人擺脫了神的束縛，開始自覺地探索數(shù)、形乃至宇宙的奧秘，揭露大自然的本來秘密。經過數(shù)個世紀的努力，數(shù)學從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演繹的學說，最終導致了希臘科學、藝術和哲學的繁榮，繼而影響到歐洲和整個世界。

在泰勒斯的學生中間，以阿那克西曼德和阿那克西米尼最有成就。阿那克西曼德（Anaximander，約前610-前545）出生于米利都，曾在黑海附近的殖民地擔任過領袖。他認為世界不是由水組成的，而是由特殊的不為我們熟知的某種基本形式組成的（構成土、氣、水、火四種元素的某種實體）。這一實體在運動中分裂出冷和熱、干和濕等對立面，從而產生萬物。 世界從它產生，又復歸于它。他是第一位以散文寫下觀念的哲學家，而不是像荷馬或赫西奧德（Hesiod）那樣用詩歌形式。

阿那克西曼德創(chuàng)造出一種歸謬法，并由此推斷出人是由海魚演化而來的，高級動物是由低級動物演化來的。他提出一種重要的宇宙觀，即地球是宇宙的中心（一個自由浮動的圓柱體），太陽、月亮和星星都是圍繞著地球呈環(huán)狀排列。在哥白尼的學說出現(xiàn)之前，這個宇宙觀延續(xù)了兩千多年。據(jù)說阿那克西曼德擅長表演，服裝和言談極具戲劇性，曾率領使節(jié)團到斯巴達，并在那里展示了他的兩項偉大發(fā)明——日晷和（人類繪制的第一幅）世界地圖。遺憾的是，他的著作《論自然》已佚失。

阿那克西米尼（Anaximenes，約前586-前526）的觀點又有所不同，他認為世界是由空氣組成的，空氣的凝聚和疏散產生了各種不同的物質形式。與兩位米利都學派前輩一樣，他的哲學也是一元論，埃及人和巴比倫人利用神靈來解釋世界的形成和本質，他們則是做了自然主義的闡釋。阿那克西米尼作了這樣的設想：氣體是一種萬能的東西，他能自己自發(fā)的進入我們的靈魂，從而達到控制身軀的目的。

據(jù)說阿那克西米尼有過上千個門徒，有一次他上課時，他要求學生們放下筆記本認真聽課，答應課后發(fā)講義給大家，結果他只給了一張白紙，讓大家把聽到的寫在紙上，只有路過旁聽的畢達哥拉斯記全了。這個故事真假難辨，但卻富有哲理，涉及教師或管理者的藝術，就是讓學生或員工對自己負責，學會和掌握重要的實用技能。阿那克西曼德曾經這樣表述：無盡的磨難是自然的一種原料。阿那克西米尼舉例予以支持——羊毛被壓縮，因為它要被做成墊毯。

此外，歷史學家、作家和旅行家赫卡泰奧斯（Hecataeus，約公元前550-前476）也被有的學者劃到泰勒斯門下。赫卡泰奧斯不僅用優(yōu)美簡潔的文筆寫出了最早的游記（他在波斯帝國有廣泛的游歷），同時也是地理學和人種學的先驅，他有一句名言流傳后世：“埃及是尼羅河的禮物”。但從他的生年和泰勒斯的卒年來看，還不能夠成為后者的學生。無論如何，赫卡泰奧斯是波斯統(tǒng)治下的米利都人，他是有記載的古希臘第一個歷史學家。在他去世前不久出生的希羅多德也曾模仿他說過：“幾何學是尼羅河的禮物?！?/p>

2022年，杭州西溪

本文經授權節(jié)選自蔡天新：數(shù)學傳奇（商務印書館，2022年11月）

標簽： 阿那克西米尼 希羅多德