問一個(gè)孩子他能想到的最大的數(shù)是什么，他往往會(huì)一長串地念下去“五十億億萬億萬億……”直到喘不過氣來，可能還摻雜著自創(chuàng)詞匯。

(資料圖片)

這樣的數(shù)按照日常標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)然很大了，也許比地球上所有生物的數(shù)量，或者宇宙中所有星體的數(shù)量還要多。但是這些與數(shù)學(xué)家們遇到的真正的大數(shù)比起來，可還是小巫見大巫。

“大數(shù)學(xué)”（googology）便是專門研究巨大數(shù)字的子學(xué)科（請(qǐng)注意是“大數(shù)/學(xué)”，而不是“大/數(shù)學(xué)”）。

幾年前，麻省理工學(xué)院舉辦了一場“大數(shù)冠軍賽”。

規(guī)則很簡單，兩個(gè)人走到黑板前，輪流一個(gè)數(shù)字，數(shù)字更大者即可勝出。但有一些限制，比如你不能寫“另一個(gè)人的數(shù)字+1”，也不能寫無限，但在大多數(shù)情況下，只要數(shù)字定義清楚，隨你怎么寫都可以。

“大數(shù)冠軍賽”宣傳海報(bào)，左下方是擂主拉約，記住這個(gè)人，后面會(huì)考

所以，數(shù)數(shù)怎么還成了門學(xué)問，甚至還能比賽呢？

01

最早思考大數(shù)的大腦

阿基米德被認(rèn)為是最早開始認(rèn)真思考大數(shù)問題的人之一。他想知道世界上有多少顆沙粒，以及多少沙?？梢匀M(jìn)整個(gè)空間。他在文章《數(shù)沙者》中寫道 ：

我知道有些人認(rèn)為沙子的數(shù)量是無限的……但還有人不把沙子的數(shù)量看作無限，但是認(rèn)為不會(huì)有數(shù)可以超過它。

為了鋪平道路，阿基米德開始擴(kuò)展當(dāng)時(shí)可用的大數(shù)命名系統(tǒng)——這也是此后所有試圖定義越來越大的整數(shù)的數(shù)學(xué)家們首先遇到的關(guān)鍵挑戰(zhàn)。

希臘人將10000 稱為murious，意為“無法計(jì)數(shù)”。阿基米德使用了“無數(shù)無數(shù)”作為自己研究的起點(diǎn)，也就是 100 000 000，用現(xiàn)代指數(shù)來表示就是10⁸。

阿基米德將任何達(dá)到“無數(shù)無數(shù)”的數(shù)稱為“第一級(jí)數(shù)”，將達(dá)到“無數(shù)無數(shù)”乘以“無數(shù)無數(shù)”的數(shù)（10¹⁶）稱為“第二級(jí)數(shù)”，以此類推。

通過這樣的方法，阿基米德可以描述到有800 000 000位的數(shù)字，他把這些數(shù)字定義為“第一階段”。數(shù)字10^800000000本身則被視作“第二階段”的開始，并不斷以這樣的過程重新開始。每個(gè)階段都比上一階段的數(shù)大10⁸倍，直到無數(shù)個(gè)無數(shù)周期的結(jié)束，最后，他可以得到一個(gè)巨大的數(shù)

10^{80 000 000 000 000 000}，或者說一個(gè)“無數(shù)的無數(shù)倍的無數(shù)次冪”。

02

神秘的東方力量

就大數(shù)這件事而言，阿基米德稱得上是西方世界的巫師，但在東方世界，學(xué)者們很快就把對(duì)大數(shù)的探索推進(jìn)了很多。

早在大約 3 世紀(jì)，印度梵語文獻(xiàn)《普曜經(jīng)》便介紹了一個(gè)以俱胝（koti）（梵文中的10 000 000）開頭的數(shù)字系統(tǒng)。

從 koti 開始往下，是一長串?dāng)?shù)字，每一個(gè)都比上一個(gè)大一百倍 ：一百個(gè) koti 是一個(gè)阿廋多（ayuta），一百個(gè) ayuta 是一個(gè)那由他（niyuta），一 直到tallakshana，也就是 1 后面有 53 個(gè) 0。同時(shí)，他將更大的數(shù)字命名為 dhvajhagravati，等于10⁹⁹，直到uttaraparamuarajapravesa，即10⁴²¹。

另一部佛教文獻(xiàn)《華嚴(yán)經(jīng)》描述了一個(gè)具有無窮多層級(jí)、互相交叉的宇宙。在卷三十中，佛陀再次闡述了大數(shù)的形成，從10¹⁰開始，將其平方得到10²⁰，再次平方得到10⁴⁰……一直到10^{101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240}。再將這個(gè)數(shù)平方，便可以得到“難以計(jì)數(shù)之物”。他繼續(xù)命名更大的數(shù)為“無量”“無邊”“無比”“無數(shù)”“不可思”“不可量”“不可說”，到最后的頂點(diǎn)得到一個(gè)“不可說不可說轉(zhuǎn)”——10^{10×(2^122)}。這個(gè)數(shù)字讓阿基米德在其著作中提到的最大數(shù)字10^{80 000 000 000 000 000}相形見絀。

03

宇宙已經(jīng)容不下的巨大數(shù)字

1920 年，美國數(shù)學(xué)家愛德華 · 卡斯納讓他九歲的侄子米爾頓 · 西洛塔為 1 后面有 100 個(gè) 0 的數(shù)字想一個(gè)名字，西洛塔想到的是“googol”。在被卡斯納與詹姆斯 · 紐曼合著的書《數(shù)學(xué)與想象》引用以后，“googol”被收錄進(jìn)了流行詞典。

西洛塔還引申出一個(gè)“googolplex”，意為“在 1 后面寫 0 寫 到你累了為止?！?如果我們將這個(gè)輕描淡寫改良一下，googolplex 可以精確地表示為：它是10^googol，即 1 后面有 googol 個(gè) 0。googolplex 大得嚇人，地球上沒有足夠多的紙張能寫下它，即使把每一個(gè)零寫得像質(zhì)子或電子一樣小，在整個(gè)可觀察宇宙也不足寫下它的全部位數(shù)。

“已知的宇宙也無法容得下能寫完googolplex所有的零的紙”

由googol衍生出的googolplex，zoogol和zoogolplex的數(shù)值

googolplex 比古代任何有名字的所有數(shù)都大，包括那個(gè)“不可說不可說轉(zhuǎn)”。然而，它卻比一個(gè)數(shù)字要小——“斯基維斯數(shù)字”。它是 1933 年由南非數(shù)學(xué)家斯坦利 · 斯基維斯在研究質(zhì)數(shù)時(shí)產(chǎn)生出來的。它指的是質(zhì)數(shù)分布問題的上限，數(shù)值是10^{10^8852142197543270606106100452735038.55}。

英國著名數(shù)學(xué)家戈弗雷 · 哈羅德 · 哈代將“斯基維斯數(shù)字”描述為“數(shù)學(xué)史上有實(shí)際意義的最大的數(shù)”，這個(gè)巨大的上限本身需要黎曼假設(shè)。

為了不被純數(shù)學(xué)領(lǐng)域超越，物理學(xué)家們也提出了一些物理領(lǐng)域的大數(shù)用以解決一些不同尋常的難題。在這場大數(shù)對(duì)戰(zhàn)中，物理學(xué)前沿的一個(gè)早期的出場選手是法國數(shù)學(xué)家、理論物理學(xué)家和博學(xué)家亨利 · 龐加萊。他在諸多著作中提出了一個(gè)問題：物理系統(tǒng)需要多長時(shí)間才能準(zhǔn)確地返回到某個(gè)狀態(tài)？這個(gè)時(shí)間被稱為“重現(xiàn)時(shí)間”。加拿大理論家唐 · 佩奇（他曾是斯蒂芬 · 霍金的學(xué)生）估計(jì)，可觀測(cè)宇宙的龐加萊重現(xiàn)時(shí)間為10^{10^10^10^2.08}年，這個(gè)數(shù)字介于 googolplex 與斯基維斯數(shù)字之間。

04

新符號(hào)？新咒語！

當(dāng)指數(shù)符號(hào)過于頻繁，不利于排版時(shí)，美國計(jì)算機(jī)科學(xué)家高德納引入了“向上箭頭表示法”。在這種命名法中，指數(shù)運(yùn)算用一個(gè)單獨(dú)向上箭頭↑表示，如 googol（10100）可表示為 10↑100，33 可表示為 3↑3。而重復(fù)的指數(shù)運(yùn)算（我們沒有日常符號(hào)）則用兩個(gè)向上箭頭↑↑表示，被稱作“迭代冪次”。這個(gè)運(yùn)算強(qiáng)度非常大，以 3 這個(gè)很小的數(shù)字為例：

3↑↑3=3^{3^3}=3²⁷

其數(shù)值是 ：7,625,597,484,987

從指數(shù)到迭代冪次，僅僅多加了一個(gè)向上箭頭，帶來的是更具戲劇性的增長。如果這樣持續(xù)運(yùn)算下去，這個(gè)冪塔的長度可以延伸到太陽。這個(gè)數(shù)字被稱為tritri，它遠(yuǎn)比我們之前提到的任何數(shù)字都要大，簡直要超出我們這些平凡生命體的理解范疇了。但我們才剛剛開始。盡管 tritri 是如此之大，但它與葛立恒數(shù)的偉大頂峰相比， 還是如同一顆微不足道的塵埃。

羅納德·葛立恒（Ronald Graham）

數(shù)學(xué)家，雜技演員、魔術(shù)師

妥妥的“斜杠人士”

他的妻子是華人圖論專家金芳蓉

因此他也取了中文名字“葛立恒”

讓我們?cè)趧倓偟臄?shù)上再加一個(gè)向上箭頭，就可以看到：3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑tritri。

第一層是3。

第二層是3↑3↑3=7,625,597,484,987。

第三層是3↑3↑3↑3…↑3——即有 7,625,597,484,987 個(gè) 3（即 tritri）。

第四層是3↑3↑3↑3…↑3，也就是 tritri 個(gè) 3。

以此類推，3↑↑↑↑3 是 tritri 的冪塔。

↑↑↑，這是一個(gè)難以置信的巨大進(jìn)步。但到目前為止，我們只爬到了G1處，即葛立恒數(shù)系列的第一個(gè)，葛立恒數(shù)本身的起點(diǎn)。那G2是什么呢？3↑↑↑↑…↑3，G1個(gè)向上箭頭。即使只是看一眼，這個(gè)數(shù)都有點(diǎn)讓人頭暈?zāi)垦??？梢岳^續(xù)推測(cè)，接下來 G3 有 G2個(gè)向上箭頭，而 G4有 G3 個(gè)向上箭頭……而葛立恒數(shù)是多大呢？是G64。

而它依然不是目前人類能創(chuàng)造出的最大的數(shù)。

05

“理論數(shù)字”

還記得開頭的大數(shù)對(duì)決嗎？

這場混合著喜劇、復(fù)雜數(shù)學(xué)、邏輯、哲學(xué)思辨的數(shù)學(xué)大戰(zhàn)可謂戲劇性、娛樂性拉滿。擂主是麻省理工學(xué)院哲學(xué)家阿古斯丁·拉約（外號(hào)“墨西哥增殖怪獸”），挑戰(zhàn)者是普林斯頓大學(xué)哲學(xué)家阿達(dá)姆·埃爾加（外號(hào)“邪惡博士”），二人在誰能定義出更大的整數(shù)上一決雌雄。

埃爾加以數(shù)字 1 開局，但拉約很快以整個(gè)黑板的 1 作為反擊。埃爾加不甘示弱，立即將除了開頭兩個(gè)1之外的所有1都擦斷，將它變?yōu)?1后面跟著一串階乘符號(hào)（!） 。

確實(shí)屬于合理利用規(guī)則

隨著這樣的決斗繼續(xù)進(jìn)行，數(shù)字最終超越了人們熟悉的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，直到對(duì)陣雙方不得不發(fā)明自己的符號(hào)來表示更大的數(shù)。

最后拉約給出了致命一擊。他描述這個(gè)數(shù)是“比任何由一階集合論語言中，包括 googol 符號(hào)在內(nèi)，或更少的表達(dá)符號(hào)所命名的有限正整數(shù)都大的最小正整數(shù)”。

這個(gè)拉約數(shù)字到底有多大，我們無法得知，可能永遠(yuǎn)也無法得知。沒有足夠的時(shí)間和空間：拉約數(shù)字是不可計(jì)算的，就像停機(jī)問題一樣不可計(jì)算。

現(xiàn)在，當(dāng)談?wù)摰轿覀內(nèi)菀赘兄降淖畲笳麛?shù)時(shí)，拉約數(shù)字或多或少劃清了我們已知和未知的邊界。

有一些更大的數(shù)字被制造出來，其中最著名是 2014 年誕生的 “BIG FOOT”。但是要想粗略了解 BIG FOOT，就意味著我們要進(jìn)入一個(gè)叫作“oodleverse”的陌生領(lǐng)域，學(xué)習(xí)“一階 oodle 理論”的語言——這是一個(gè)需要我們有更高的數(shù)學(xué)水平，以及更高的幽默水平來解決的絕佳冒險(xiǎn)。畢竟，迄今為止所有能達(dá)到的最大命名的大數(shù)都建立在拉約數(shù)字同樣的體系之上。

人們很容易認(rèn)為，像拉約數(shù)字這樣的巨大數(shù)字讓我們更接近無限。但事實(shí)并非如此。無限的數(shù)字也許可以用來產(chǎn)生有限的數(shù)字，但不管我們找到的數(shù)字有多么高，永遠(yuǎn)沒有一個(gè)點(diǎn)讓“有限”與“無限”相融合。事實(shí)上，與我們小時(shí)候數(shù) 1、2、3 相比，尋找更大的有限數(shù)并沒有朝無限走近一步。

但我們總會(huì)走到半徑更大的地方。

——互動(dòng)問題——

你能想象的非常大的數(shù)字是什么？

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