對大學指定教材的批評乃至吐槽無可厚非，但相比之下還有更值得關注的問題，那就是大學生們的學習方法問題。

(資料圖)

撰文 | 吳進遠

網絡上有一種周期性出現的帖子，是吐槽大學教材。有的言辭還挺激烈，比如談及某大學的線性代數教材，有些吐槽者說是“垃圾里面的垃圾”。具體咋回事呢？有一位同學說他自己看朗道的書一點壓力沒有，但是看這個大學的線性代數教材就是“一臉懵逼”。后來看了Gilbert老爺子的公開課才算通透了。更有意思的是，有的人聲稱他自己線性代數掛了，后來看公開課才過。這些話聽起來還是挺令人擔憂的，不過擔憂的倒不是教材寫得怎樣。世界上的任何教材，當然不可能十全十美，肯定需要不斷改進，因此對于教材批評乃至吐槽也無可厚非，可是相比之下這是個比較次要的問題。真正值得擔憂的是，怎么還會有大學生像小學或初中生那樣，如此依賴教材和老師講課，教材不好或老師講課不好就學不好課程，乃至掛科。如果這些情況是真的學生反映的，那么最急迫需要解決的其實是大學生們的學習方法問題。這篇文章主要討論一下大學生應該如何學習，希望能幫到讀者們。

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掌握學習方法，大學教材好壞真的沒有那么重要

我們在大學里會學習很多知識，但更值得學習的是學習方法和科研方法，這是和小學或初中很不相同的。一個學生從上高中開始，就應該逐步有意識地學習、探索對自己合適的學習方法。一個人學會了有效的學習方法，可以大大提高學習效率，用更短的時間掌握更多的知識。更重要的是，一個人掌握了有效的學習方法后，即使離開了大學，也仍然可以不斷繼續(xù)學習，不斷獲得新知。

學習任何知識，一個基本的技巧就是從多個不同視角去觀察理解一個事物。我們有時候總說兩個概念容易混淆，其實往往不是兩個概念本身真的分不清楚，而是很多情況下，這是觀察視角單一造成的問題。如果換一個視角，人們常常會發(fā)現，兩個概念其實是分得清清楚楚的。具體到學一門功課，最簡單的一點就是不能只抱著一本書在那里啃，而應該閱讀更多的書或者網上的相關內容。不同的人寫不同的書，視角不完全相同。有些內容可以互相印證，而有些不同的內容則多半是解釋了事物的不同側面。我們讀過這些書之后，完全可以通過自己思考，腦補出完整的圖像。

這樣一來，一本書寫得好還是不好的影響已經大大降低了。即使一本書有什么缺陷，也可以被其他的書稀釋平均掉。不過更多的情況下，這些“缺陷”其實只是不同書中的不同特點，它們能夠互補，從而幫助我們全面理解相關知識。

用線性代數做例子。線性代數里的基本概念可以用多種方式表述，有人喜歡用純代數符號表述，我個人很多時候喜歡用空間相交的平面表述，G老爺子喜歡用列空間、行空間的方式表述。這些表述都有用，逐步全部了解才能學透線性代數。不過，先學哪個，后學哪個也并沒有死板的次序，它們之間其實是互為四個饅頭和一碗粥的關系。反過來說，MIT的學生們，如果不看其他參考書，單純聽G老爺子一個人的課，“一臉懵逼”的也恐怕不是一個兩個。這些學生中也有讀費曼一點沒壓力的，難道我們能夠以此斷定G老爺子的課是“垃圾中的垃圾”？

一個人掌握了這種多角度觀察理解事物的學習方法，還會因為教材“垃圾”或者老師講課講得差而學不透，乃至掛科嗎？有的讀者可能會說掛科是因為打游戲，其實連打游戲都不見得會掛科。掌握了好的學習方法，學習效率提高了，會節(jié)省出很多時間。節(jié)省出時間，完全可以做到學習、打游戲（但不要沉迷上癮）、談朋友（要找個同樣熱愛與善于學習的）樣樣不耽誤。

當然，在大學，**趁著年輕學習能力強的時期，多讀點硬核的書還是很有價值的。**我自己在大學時，到圖書館借了普通化學、普通生物學、普通地質學、普通地理學等書，把帶“普通”兩個字的很多課程自學了一遍。這樣學到的東西并不一定會在工作中用上，但這些知識會使人受益一生。

在這類吐槽中，還經?？吹秸f“中文與科學不兼容”“中文阻礙科學”這類聽上去挺“深刻”的話。貌似現在講這種話成了一種時尚，這未免太離譜。我前面說的多視角觀察理解事物的方法，其實也同時是我們科研工作中最基本的方法。而這種科學研究方法，有兩個中文成語簡練地概括出來了：兼聽則明、取長補短。前一個成語出自《管子》，大約2400年前。后一個出自《孟子》，大約2300年前。

2

上下求索，不要太害怕沙灘上建樓

人們的知識很大程度上是向自然界學習而得到的。從自然界看到的現象往往是頂層的，而其基礎通常不是先被人們看到的。先輩科學家數學家們順藤摸瓜，從頂層多種復雜因素形成的現象，逐漸建立這些現象與自然基礎規(guī)律之間的邏輯關系，從而搞清楚自然規(guī)律大廈的構造，形成我們現在看到的學科架構。

比如，我們可以很容易地看到，任意四邊形的板塊能夠嚴絲合縫地鋪滿整個平面。究其原因，是任意四邊形四個內角的和等于360度，而這件事的原因是三角形三個內角和等于180度。再進一步探索下去，就能更深入地看清歐幾里得幾何學的幾個公設與這些自然事實之間的邏輯聯系。

當人們搞清楚一個學科的內部邏輯聯系之后，寫出的教科書，學校中的教學課程，往往是選擇從基礎逐漸往上搭建的路徑。這種教育與學習路徑很多情況下也是非常成功的。人們也有時會把基礎知識學得不扎實，比喻為沙灘上建樓房。

不過，這樣一種從下向上的學習路徑不應該絕對化。有的時候，像先輩科學家那樣從上向下的探索，完全可能更有效。

比如，小明身高長了1%，在胖瘦和身體各種組織密度不變的情況下，我們可以快速估計出，小明皮膚表面積增加了2%，體重增加了3%。這種快速估計是我們每天科研工作中，甚至去披薩店吃飯時都會用到的。這個方法用中學代數簡單地展開 (1+a)n 就可以看出來，但是要徹底證實這樣做的合理性，卻需要小半本微分書。

因此，看起來雖然這種快速估計是空中樓閣，但實際上它是有支點的。從這些支點，向下可以看到更多支點的支點。我們順著這個思路，可以逐步明白柯西等人為什么搞出那么一大堆定理判據，為什么要考慮函數曲線中間突然冒出一個坑，甚至斷崖式跳變，或者函數曲線彎出死角的情況。

對于我們每一個人，學一門課的時候，哪一種路徑更容易學通并不一定。我這里提出這個問題主要是希望大家不要排斥任何一種路徑，不要太害怕所謂沙灘上建樓。我們學的知識并不是我們建的，而是在自然界存在的東西，我們只是在探索這一層層的樓它們內部的邏輯聯系。即使我們短時間內，暫時沒有探索清楚底層的支撐，這個樓也沒有那么容易轟然倒塌。

我們前面談到應該多視角觀察理解事物。實際上，這里說的從下向上和從上向下，就是兩種不同的觀察視角?！奥仿湫捱h兮，吾將上下而求索”，這是屈原《離騷》里的句子，距今大約2300年。

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不要指望過目不忘，一遍學懂

我們大多數人沒有過目不忘的本事，因此不應該指望一個課程讀一遍書就能學懂。即使你記憶力超強，看一遍就能倒背如流，也不見得就懂了。理科里很多學科需要理解，需要舉一反三（“舉一反三”出自《論語》，距今2500年左右）。因此，比較靠譜的學習方法是像《論語》第一句說的那樣“學而時習之”。

這種多波次的學習方法，可以在不同的時空尺度中使用。比如速度和加速度，是經常用來理解導數概念的物理概念。大學里排課，也經常把微積分與普通物理放在前后學期甚至相同學期。在學一門課程的時候，如我們前面所說，應該找到多種相關的書。這樣我們就可以在獲得不同視角的情況下，多波次地學而時習之。

在學一本書的時候，有時我們容易傾向于一直順著往下讀，不太愿意停下來做習題，覺得這樣打斷思路。這就要求我們自己有意識地克服這種傾向，有意識地在適當的時候打斷自己的思路，走出舒適區(qū)，從閱讀變換為做題。

做題往往會給我們帶來與閱讀不相同的視角，更不用說，適度刷題對提高考試成績非常有幫助。

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把巨匠的書當作普通書來讀

現今流傳的吐槽大學教材的帖子中，往往還溢美了另外一批書。除了前面提到的Gilbert Strang，還會有費曼、杰克遜等等。早些年還有朗道、福里斯、斯米爾諾夫、吉米多維奇等。不過近十幾年來燈塔和毛熊不太對付，因而國內談及后面幾人的帖子也少些了。

科學精神的一個推論是，一個陳述正確與否，和這話誰說的沒有關系。任何科學素養(yǎng)不欠費的人，都不會迷信個人。前一陣三天兩頭那種某某某“研判”，已經夠讓人起雞皮疙瘩了。后來搞成“今后只信某某某”，甚至說相信某某某就是相信“科學”，未免太逗了。其實這種個人迷信恰恰是違背科學的。順便說一句，科學本身根本不會要求人們“相信”科學。

回到讀書這件事，一個問題由誰講解，并不影響其內容的對錯。因此科學巨匠的書，不應該當成圣經來讀，而應該當成普通的書來讀。其實所有寫書的作者，包括我自己，相信也包括這些科學巨匠，都希望人們用科學的態(tài)度，把他們的書當成普通的書來讀。什么叫科學態(tài)度呢？就是閱讀的時候要存疑，要思考，而不能盲目相信。只有這樣，才能真正理解這些作者的思考方法，把作者的思想，變成讀者的精神養(yǎng)料。

我是學物理的，但我迄今還沒有讀過費曼的物理學講義。也許這件事會在有的讀者眼中讓我跌到鄙視鏈底端，但這種鄙視鏈本身就是虛的。**能不能學好物理，和讀過沒有讀過某一本特定的書，并不能完全等同。**舉個極端一點的例子，費曼自己，肯定不是因為讀了費曼講義而成為偉大的物理學家的。我并不反對讀費曼的物理學講義，我認為任何人包括我自己，合適的情況下都可以讀。只是不需要把任何一本書的作用抬得過高，用平常心態(tài)讀就好。

**把人當成神，其實只會阻礙我們向人學習。**我們還是舉一個費曼的例子，他有一個吐槽巴西物理教學的訪談，談到上課老師一句句講，學生一句句抄，下課回去背應付考試。這個批評是很對的。不過就在這篇文字中，費大神有點加速度和角加速度不分，文字并不十分嚴謹。我們如果認為只能相信神，那就只能全盤否定費曼，因為神不能出錯。反之，如果我們把費曼當成一個普通人，我們就能把他對物理教學的真知灼見，與談到角加速度時的用詞不嚴謹區(qū)分開來，僅吸取其精華。

這種科學思想，可以用我一位初中畢業(yè)親戚的一句口頭禪概括：一碼歸一碼。

5

教學相長，在輔導同學的同時提高自己

從百度百科上查到，教學相長這個成語，最早出于西漢。在戴圣《禮記·學記》中寫道：“學然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強也。故曰：‘教學相長’也?！?/p>

無獨有偶，網上傳說費曼也有一個用輸出倒逼輸入的費曼學習方法?；镜囊馑?，就是想辦法把一個內容教給小朋友。通過準備這樣一個教學，把自己沒有理解透的概念搞清楚。盡管有人對把這個方法掛到費曼頭上提出過質疑，但如果我們忽略出處的考證，以教學帶動學習確實是個很好的方法。

當然，在實際生活中，沒有那么多固定正式的聽眾讓你輸出，因為大家都很忙，沒功夫。但只要有心，教的機會還是會有的。在學校的環(huán)境中，有時會有同學學習中遇到困難，這種情況下，能輔導一下同學，會對自己理解相應課程有很大幫助。我們經常看到班里的學習委員成績非常好，其實很多學習委員并不是有多高天賦，而是因為經常輔導同學，通過教學相長，讓自己也提高了。我自己，就當過這種并不天才的學習委員。當然有時大家都是學霸，很難說誰能一直教誰。在這種情況下，如果同學之間能經常討論，也會幫助每個人整理思路，加深理解。

自己爹娘，或者男（女）朋友，很多情況下不熟悉你的專業(yè)。放假回家，或者約會的時候，好好準備一下，試著給他們講講自己在學校學的什么，會是個非常好的經歷。你不需要指望他們全聽懂，只要他們聽了不打哈欠，就非常成功了。

此外，現在很多人都有自己的公眾號。你可以把自己所學寫出來，放到公號里。在寫作中，當你試圖讓外行人能聽懂時，這樣一種思路整理、語言選擇的過程，會讓你受益匪淺。

我認識的一個朋友甚至會自己寫一本書，盡管這本書未必會有出版社印出來，但寫作時會讓你發(fā)現許多過去概念模糊的地方，迫使自己把這些地方全搞清楚。

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結 語

祝大家學有所成。

出品：科普中國

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標簽： 學習方法 線性代數 的情況下