撰文 | 董唯元黑洞是科普內(nèi)容里的常客，諸如“時(shí)空奇點(diǎn)”、“事件視界”、“史瓦西半徑”，這些名詞早已成為愛(ài)好者們耳熟能詳?shù)母拍??？扇绻f(shuō)起黑洞內(nèi)部的多層結(jié)構(gòu)，恐怕許多人會(huì)感到莫名其妙。黑洞里面連物質(zhì)都沒(méi)有，只有嚴(yán)重扭曲的時(shí)空而已，怎么會(huì)跟雞蛋一樣有分層結(jié)構(gòu)呢？實(shí)際上，黑洞不僅有內(nèi)部結(jié)構(gòu)而且還很復(fù)雜，但我們可以從“0”開(kāi)始。

0糖0卡0公式其實(shí)，在科普書(shū)中經(jīng)常出現(xiàn)的黑洞，只是黑洞家族里最簡(jiǎn)單的一種，被稱(chēng)為史瓦西黑洞。這種黑洞既不帶電也不自轉(zhuǎn)，只有一個(gè)物理屬性——質(zhì)量。在如此高度簡(jiǎn)化又各向?qū)ΨQ(chēng)的前提下，當(dāng)然沒(méi)機(jī)會(huì)出現(xiàn)太復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。但真實(shí)的宇宙中，天體大多具有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，而且也多多少少帶有一些電荷，黑洞也不應(yīng)例外。當(dāng)描述黑洞的理論模型中加入了自轉(zhuǎn)角動(dòng)量和電荷之后，一些有趣的結(jié)構(gòu)便出現(xiàn)了。廣義相對(duì)論下的黑洞分類(lèi)我們都知道，史瓦西黑洞的結(jié)構(gòu)就是一個(gè)叫作事件視界的球面，包裹著球心處的時(shí)空奇點(diǎn)，從視界到奇點(diǎn)這部分區(qū)域是不可逆轉(zhuǎn)的單向區(qū)，掉進(jìn)這個(gè)區(qū)域的任何東西都不可避免地走向奇點(diǎn)。有個(gè)噱頭感十足的說(shuō)法：在這個(gè)單向區(qū)內(nèi)，時(shí)間變成了空間，空間變成了時(shí)間。至于這句話(huà)具體該如何理解，我們稍后再談。現(xiàn)在我們讓黑洞攜帶上電荷，即RN黑洞，它有內(nèi)外兩層視界，單向區(qū)只存在于兩層視界之間，黑洞所帶的電荷越多，這個(gè)球殼狀的單向區(qū)就越薄。而在內(nèi)視界以?xún)?nèi)的區(qū)域則又回到普通時(shí)空的樣子，不存在時(shí)間維與空間維互換的情形，黑洞中心的奇點(diǎn)就躺在這片普通時(shí)空區(qū)域中。

如果黑洞有自轉(zhuǎn)，即克爾黑洞，其視界不再是勻稱(chēng)的球面，而是類(lèi)似南瓜的表面，而且這種南瓜皮樣的視界也有內(nèi)外兩層，中間夾著單向區(qū)。此外克爾黑洞比RN黑洞還多出兩個(gè)界面——外靜止面和內(nèi)靜止面——分別位于外視界之外和內(nèi)視界之內(nèi)。從靜止面到視界的區(qū)域被稱(chēng)為能層，這個(gè)名稱(chēng)的由來(lái)是彭羅斯發(fā)現(xiàn)從這個(gè)區(qū)域可以獲取能量。克爾黑洞最有意思的部分是中心不再存在奇點(diǎn)，取而代之的是一個(gè)奇環(huán)。

(相關(guān)資料圖)

克爾黑洞所展現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，基本已經(jīng)達(dá)到了復(fù)雜程度的極限，再帶上電荷的克爾-紐曼黑洞，并沒(méi)有比克爾黑洞的結(jié)構(gòu)復(fù)雜更多，仍然是內(nèi)外兩個(gè)能層夾著單向區(qū)的樣子，中間也依然是代表時(shí)空奇異性的奇環(huán)。電荷的多少只是為這些結(jié)構(gòu)的具體位置又多增加了一個(gè)參數(shù)而已。

史瓦西度規(guī)至此，我們已經(jīng)大略瀏覽了四種黑洞的結(jié)構(gòu)樣貌，可是我相信大多數(shù)讀者肯定不會(huì)滿(mǎn)足于如此泛泛的走馬觀花。為了說(shuō)得更清楚些，我們先用半分鐘時(shí)間認(rèn)識(shí)兩個(gè)相對(duì)論中的物理概念——“線(xiàn)元”和“度規(guī)”。“線(xiàn)元”可以粗略地理解為時(shí)空中臨近兩點(diǎn)的微小間隔，記做ds。在平直時(shí)空中，

或者采用極坐標(biāo)的形式

寫(xiě)成矢量?jī)?nèi)積的樣子就是

那個(gè)夾在中間的4×4矩陣，就是“度規(guī)”，它顯示著時(shí)空的幾何性質(zhì)。平直時(shí)空的度規(guī)是簡(jiǎn)單的diag(-1, 1, 1, 1) 對(duì)角矩陣，而彎曲時(shí)空的度規(guī)，就會(huì)變得復(fù)雜起來(lái)。

所謂求解廣義相對(duì)論方程，其實(shí)就是計(jì)算出度規(guī)的所有分量。對(duì)時(shí)空幾何性質(zhì)的所有刻畫(huà)，都藏在這個(gè)矩陣?yán)?。知道了這些，我們就可以根據(jù)一個(gè)線(xiàn)元的表達(dá)式，來(lái)閱讀出時(shí)空度規(guī)，繼而揣度時(shí)空的樣子。比如，把不自轉(zhuǎn)，不帶電，質(zhì)量為M的物體放在極坐標(biāo)原點(diǎn)，它周?chē)恼婵站€(xiàn)元表達(dá)式是

其中

我們能馬上看出來(lái)，這個(gè)史瓦西度規(guī)仍然是對(duì)角矩陣，但是對(duì)比平直時(shí)空的樣子，標(biāo)成藍(lán)色的gtt和grr兩個(gè)分量顯然有所不同，這兩項(xiàng)就是所有后相對(duì)論時(shí)代對(duì)黑洞研究的起點(diǎn)，rs就是史瓦西半徑，r=rs處就是史瓦西黑洞的視界。當(dāng)s→∞的時(shí)候，史瓦西度規(guī)回到了平直時(shí)空的樣子，說(shuō)明在無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)空彎曲的效應(yīng)逐漸消失。那么在黑洞附近的時(shí)空又是如何彎曲的呢？讓我們派出一位冒險(xiǎn)者到臨近視界的地方進(jìn)行考察。三維空間中，冒險(xiǎn)者所處的位置是一個(gè)點(diǎn)，而四維時(shí)空中，由于時(shí)間的不斷流逝，即使冒險(xiǎn)者靜止不動(dòng)這個(gè)位置仍是一條線(xiàn)，被稱(chēng)為“世界線(xiàn)”。

黑洞附近的時(shí)間膨脹相對(duì)論告訴我們，世界線(xiàn)是個(gè)絕對(duì)的物理對(duì)象，無(wú)論從哪個(gè)參照系中計(jì)算，這條線(xiàn)上的同一段ds的長(zhǎng)度都必然相同。我們選取兩個(gè)特殊的參照系，一個(gè)是相對(duì)黑洞靜止的參照系，另一個(gè)是冒險(xiǎn)者自己的隨動(dòng)參照系。前一個(gè)參照系中，我們照舊使用已經(jīng)提到過(guò)的公式來(lái)計(jì)算冒險(xiǎn)者世界線(xiàn)的線(xiàn)元。

其中，代表沿球面切向位置變化，連同徑向位置變化dr一起，給出冒險(xiǎn)者的空間坐標(biāo)位置變化。需要注意的是式子中的dt，它代表站在無(wú)窮遠(yuǎn)處且相對(duì)黑洞靜止的觀者所感受到的時(shí)間變化。在后一個(gè)參照系中，冒險(xiǎn)者自己相對(duì)于隨動(dòng)參照系沒(méi)有任何位置變化，只是單純地經(jīng)歷著時(shí)間的流逝，所以線(xiàn)元就簡(jiǎn)化成了

其中dτ就是冒險(xiǎn)者自己所感受到的時(shí)間變化。

兩個(gè)參照系中冒險(xiǎn)者的世界線(xiàn)是同一根，所以

現(xiàn)在，我們命令冒險(xiǎn)者懸停，于是dr和dΩ都是0，式子就簡(jiǎn)化成了

如果懸停的位置滿(mǎn)足r=1.01rs，就會(huì)有dt≈10dτ，冒險(xiǎn)者的時(shí)鐘變得好慢！無(wú)窮遠(yuǎn)處的觀者不得不等上十年，才能看到冒險(xiǎn)者長(zhǎng)了一歲，這就是引力場(chǎng)所產(chǎn)生的時(shí)間膨脹效應(yīng)。如果冒險(xiǎn)者此時(shí)向遠(yuǎn)處發(fā)射一道光，那么等光到達(dá)遠(yuǎn)處的觀者時(shí)頻率已經(jīng)下降為出發(fā)時(shí)的十分之一，也就是產(chǎn)生了嚴(yán)重的紅移。當(dāng)冒險(xiǎn)者的位置無(wú)限接近rs時(shí)，時(shí)間膨脹也無(wú)限接近無(wú)窮大。盡管冒險(xiǎn)者自己仍然體驗(yàn)著正常的時(shí)間流逝，但在遠(yuǎn)處的觀者看來(lái)，冒險(xiǎn)者的時(shí)間已近乎停止，其發(fā)出的光，頻率也無(wú)限接近零。也就是說(shuō)，源自視界處的光，無(wú)法將能量傳遞到遠(yuǎn)方。忽然想到有那么多電視節(jié)目甚至電臺(tái)都樂(lè)意取“視界”做名字，不免讓人感覺(jué)……

空間維變成時(shí)間維說(shuō)回物理，我們來(lái)看看冒險(xiǎn)者穿過(guò)視界進(jìn)入黑洞內(nèi)部之后的情景。也許有人會(huì)提出質(zhì)疑：冒險(xiǎn)者在視界處已經(jīng)達(dá)到了時(shí)間膨脹的極限，遠(yuǎn)處的觀者即使等到地老天荒宇宙毀滅也無(wú)法等來(lái)冒險(xiǎn)者穿過(guò)視界的時(shí)刻呀？小啦，格局小啦。雖然遠(yuǎn)處的觀者在自己所體驗(yàn)的時(shí)間里等不到，但不代表冒險(xiǎn)者無(wú)法到達(dá)。事實(shí)上，按照冒險(xiǎn)者自己所體驗(yàn)的時(shí)間，他完全可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并順利穿過(guò)視界。當(dāng)然他最好有非常堅(jiān)硬的鎧甲和非常微小的身軀，以免被潮汐力扯碎。當(dāng)r＜rs時(shí)，冒險(xiǎn)者就進(jìn)入了單向區(qū)，我們來(lái)看看這里的時(shí)間與空間是如何互換的。

此時(shí)

仍然成立。為了使冒險(xiǎn)者感受到的時(shí)間dτ是實(shí)數(shù)，等號(hào)左邊也必須是負(fù)數(shù)，而r＜rs時(shí)

只能依靠

這項(xiàng)的貢獻(xiàn)。也就是說(shuō)，進(jìn)入視界之后的冒險(xiǎn)者，根本無(wú)法再懸停在任何地方，他必須不斷靠近黑洞中心，才能感受到時(shí)間的流逝?；蛘吒纱嗾f(shuō)，在遠(yuǎn)處觀者參照系中的空間維度r，與冒險(xiǎn)者參照系中的時(shí)間維度τ，建立起了奇妙的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)冒險(xiǎn)者來(lái)說(shuō)，r不再是個(gè)能來(lái)回移動(dòng)的空間維度，而是變成了時(shí)間一樣的單向維度。

RN度規(guī)和克爾度規(guī)通過(guò)前面對(duì)史瓦西度規(guī)的了解，我們發(fā)現(xiàn)原來(lái)黑洞的視界就出現(xiàn)在度規(guī)的某個(gè)分量為零或者發(fā)散的地方。依照這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，識(shí)別其他類(lèi)型黑洞的視界，自然也可以手到擒來(lái)。僅帶電，不自轉(zhuǎn)的RN度規(guī)是這樣的：

其中

確定視界的位置非常簡(jiǎn)單，只需要解個(gè)小方程

就得到

這就是RN黑洞的內(nèi)外兩個(gè)視界。當(dāng)r-＜r＜r+時(shí)，也就是兩層視界之間的部分，gtt＞0，grr＜0，就出現(xiàn)了空間維r變成單向維度的情形。而在r＜r-的區(qū)域，gtt＜0，grr＞0，時(shí)間維和空間維重新回到普通的樣子。能夠堅(jiān)持讀到這里的讀者，估計(jì)此時(shí)會(huì)產(chǎn)生一種幻覺(jué)——什么神秘兮兮的時(shí)空彎曲，原來(lái)也就不過(guò)如此嘛！好吧，那讓我們?cè)賮?lái)看看不帶電，僅帶有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量J的克爾度規(guī)。

其中

顯然，這個(gè)度規(guī)所刻畫(huà)的時(shí)空結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比史瓦西度規(guī)和RN度規(guī)復(fù)雜得多，所以也經(jīng)歷了更長(zhǎng)的時(shí)間才被計(jì)算出來(lái)。史瓦西度規(guī)早在1915年就被發(fā)現(xiàn)，RN度規(guī)也在1916~1918年間被發(fā)現(xiàn)，而克爾度規(guī)的精確解卻要等到1963年。克爾度規(guī)不僅復(fù)雜而且重要，因?yàn)橛钪嬷械奶祗w都或多或少具有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，只有克爾度規(guī)才能更準(zhǔn)確地反映這些天體的運(yùn)動(dòng)和演化。相較而言，史瓦西度規(guī)和RN度規(guī)就顯得過(guò)于簡(jiǎn)化，甚至遺漏掉了許多真實(shí)宇宙中的有趣內(nèi)容。

轉(zhuǎn)動(dòng)的黑洞可以發(fā)電在史瓦西度規(guī)和RN度規(guī)中，gtt=0的位置恰好也是grr→∞的位置，于是這個(gè)位置就順理成章地被定義為黑洞的視界。可是在克爾度規(guī)中，滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的位置不再重合。解gtt=0這個(gè)方程得到

解這個(gè)方程得到

這兩組解對(duì)應(yīng)四個(gè)界面，應(yīng)該把哪些定義成視界呢？

回憶前面對(duì)冒險(xiǎn)者旅程的描述，我們可以總結(jié)出兩條結(jié)論：

當(dāng)冒險(xiǎn)者懸停在空間某一位置時(shí)，他的時(shí)間流逝速度在遠(yuǎn)處觀者看來(lái)正比于，當(dāng)gtt=0時(shí)，遠(yuǎn)處觀者所看到的冒險(xiǎn)者就徹底靜止了。在gtt＜0的地方，空間維r變成了像時(shí)間維t一樣的單向維度，冒險(xiǎn)者無(wú)法懸停在空間一點(diǎn)，必須沿r方向持續(xù)單向運(yùn)動(dòng)。

這兩條對(duì)所有時(shí)空都是普適的，也可以用來(lái)考察克爾度規(guī)。如果讓冒險(xiǎn)者前往一個(gè)克爾黑洞，當(dāng)他到達(dá)rE+位置的時(shí)候，在遠(yuǎn)處的我們看來(lái)，他就已經(jīng)靜止了，但其實(shí)他自己還能繼續(xù)向前，而且即使進(jìn)入了r＜rE+的區(qū)域，理論上仍然存在逃離的可能性。只有他進(jìn)入r＜rH+的區(qū)域后，才真正被黑洞捕獲，被不可逆轉(zhuǎn)的拖向rH-位置。所以rH才是黑洞的事件視界，而rE的位置被命名為靜止面，也叫無(wú)限紅移面，在這個(gè)位置以降的地方所發(fā)出的光，都無(wú)法將能量攜帶到遠(yuǎn)方。細(xì)心的讀者也許會(huì)問(wèn)，連光都無(wú)法逃離的地方，冒險(xiǎn)者又如何能逃離呢？這就跟rE至rH之間這片區(qū)域的特殊幾何特性有關(guān)了。在這個(gè)區(qū)域，gtt＞0且grr＞0，似乎時(shí)間維和r維度都變成了“空間維度”，為了讓冒險(xiǎn)者擁有實(shí)數(shù)的時(shí)間τ，必須在線(xiàn)元表達(dá)式里找到一個(gè)負(fù)數(shù)的貢獻(xiàn)。

就成了唯一可指望的貢獻(xiàn)來(lái)源?？梢?jiàn)，在rE至rH間的區(qū)域內(nèi)，Φ是一個(gè)無(wú)法停止永遠(yuǎn)單向變化的維度。這就是自轉(zhuǎn)的黑洞對(duì)周?chē)目臻g所產(chǎn)生的極端拖拽效應(yīng)。這片時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)著的時(shí)空被稱(chēng)為能層，因?yàn)槠渲刑N(yùn)含著一種特殊的能量，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域的的冒險(xiǎn)者可以逆著轉(zhuǎn)動(dòng)方向拋出一個(gè)有質(zhì)量的物體，自己就可以獲得許多能量，繼而利用這些能量來(lái)逃離出靜止面。這個(gè)丟車(chē)保帥獲取能量的做法叫作“彭羅斯過(guò)程”（Penrose process），是彭羅斯在1969年發(fā)現(xiàn)的。我們知道質(zhì)量就是能量的一種形式，而彭羅斯過(guò)程本質(zhì)上就是利用克爾黑洞的能層將質(zhì)量?jī)稉Q成能量的方法。而且這種能量?jī)稉Q方式的效率非常高，我們投喂給黑洞的質(zhì)量中，理論上最多可以有29%轉(zhuǎn)化為我們獲取的能量。別看這個(gè)效率大概跟用煤燒開(kāi)水的效率差不多，但別忘了我們的分母不是煤炭中的化學(xué)能，而是整坨物質(zhì)的質(zhì)量。

事件視界的形狀帶有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量J和電荷Q的克爾-紐曼度規(guī)是克爾度規(guī)的一個(gè)小小擴(kuò)展。

可以看出這個(gè)度規(guī)與克爾度規(guī)所描述的時(shí)空結(jié)構(gòu)基本沒(méi)有太多差別，我們同樣可以通過(guò)gtt=0和這兩個(gè)方程找到靜止面和事件視界的位置。

和

這里需要做些補(bǔ)充說(shuō)明。無(wú)論克爾黑洞還是克爾-紐曼黑洞，其事件視界的計(jì)算結(jié)果都是rH為坐標(biāo)參數(shù)無(wú)關(guān)的確定值，似乎應(yīng)該是個(gè)球面?？蔀槭裁辞懊娼o出的圖像中，把視界畫(huà)成南瓜形呢？其實(shí)這也是時(shí)空被扭曲后的一種結(jié)果。如果令r=rH，dt=dr=0，也就是固定住時(shí)間，并把位置固定在rH處，克爾度規(guī)的線(xiàn)元表達(dá)式就變成了

這個(gè)表達(dá)式顯然不具備球?qū)ΨQ(chēng)性。不過(guò)，我們也不能粗暴地說(shuō)這就是冒險(xiǎn)者眼中“看”到的黑洞，因?yàn)闋砍兜焦饩€(xiàn)傳播路線(xiàn)問(wèn)題，會(huì)使問(wèn)題更復(fù)雜。我們只能讓冒險(xiǎn)者閉上眼睛，躲過(guò)光線(xiàn)的欺騙，用手去觸達(dá)實(shí)際空間位置。由于黑洞處的時(shí)空嚴(yán)重扭曲，冒險(xiǎn)者會(huì)發(fā)現(xiàn)，最初遠(yuǎn)處觀者交給他的一個(gè)球形3維指示圖，在黑洞里會(huì)變成扁南瓜的樣子。

問(wèn)題總比答案多黑洞有關(guān)的研究課題實(shí)在太多太多了，除了頗受關(guān)注的黑洞熱力學(xué)和信息悖論之外，僅時(shí)空幾何本身的許多性質(zhì)，至今都是活躍的研究前沿。比如奇點(diǎn)對(duì)時(shí)空因果結(jié)構(gòu)的破壞，就使許多研究者非常不安：既然無(wú)法從理論上消滅它，就非常希望它永遠(yuǎn)藏在事件視界之內(nèi)，不要暴露在我們可觸及的時(shí)空之中。然而前面在計(jì)算rH的時(shí)候可以看出，如果rQ或者a足夠大，也就是電荷或角動(dòng)量足夠大，那么從數(shù)學(xué)上確實(shí)有可能出現(xiàn)rH無(wú)解的情況，對(duì)應(yīng)著不存在事件視界的時(shí)空結(jié)構(gòu)。倘若如此，奇點(diǎn)就會(huì)裸露在我們面前，這是物理學(xué)家們內(nèi)心非常抗拒的場(chǎng)景。為此彭羅斯提出了“宇宙監(jiān)督假說(shuō)”（Cosmic censorship hypothesis），認(rèn)為宇宙一定有某種機(jī)制來(lái)防止裸奇點(diǎn)的出現(xiàn)。至于這種機(jī)制到底是什么，至今也沒(méi)有特別有力的理論機(jī)制。另外，自從知道黑洞是個(gè)超高能量轉(zhuǎn)換器之后，其自身結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，也成了物理學(xué)家們擔(dān)憂(yōu)的問(wèn)題。就像生產(chǎn)火藥的車(chē)間更容易發(fā)生爆炸一樣，一個(gè)進(jìn)入黑洞的粒子也許會(huì)因?yàn)榕及l(fā)的衰變而獲得巨大的能量，這些能量也許會(huì)使粒子自己原地變身成一個(gè)小黑洞。如果真有這種過(guò)程出現(xiàn)，這個(gè)小黑洞也許就會(huì)對(duì)大黑洞的時(shí)空結(jié)構(gòu)造成不可逆轉(zhuǎn)的破壞，甚至導(dǎo)致大黑洞整體結(jié)構(gòu)的徹底崩潰。對(duì)克爾黑洞自身結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究是個(gè)非常艱深的課題，自1963年至今近60年時(shí)間里進(jìn)展一直比較緩慢。2022年5月，哥倫比亞大學(xué)和普林斯頓大學(xué)的幾位研究者在一篇長(zhǎng)達(dá)912頁(yè)的論文中，終于從數(shù)學(xué)上給出了a<文獻(xiàn)

[1] arXiv:2205.14808 [math.AP]

標(biāo)簽： 克爾黑洞 位置變化 時(shí)間膨脹