撰文 |文蘭（中國科學(xué)院院士、北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授）1什么是悖論

我們給悖論下一個(gè)“進(jìn)行式”的定義：悖論就是導(dǎo)致矛盾但原因不明的推理。根據(jù)這一定義，一旦矛盾的原因找到了，悖論也就不再是悖論了。另外，矛盾的原因應(yīng)該比較難于察覺。這一定義可能與許多文獻(xiàn)中對(duì)悖論的定義不同。筆者主張這一定義。2理發(fā)師悖論

(相關(guān)資料圖)

某村有一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請(qǐng)問他給不給自己理發(fā)？若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。這是一段有名的、非常有趣的推理。由于找不出矛盾的原因，這段推理就被稱為“理發(fā)師悖論”。但真的找不出矛盾的原因嗎？本文的目的就是說明，其實(shí)這一矛盾的原因并不難察覺，故理發(fā)師悖論不足以稱為悖論。3理發(fā)師悖論的解決

讓我們把理發(fā)師悖論再敘述一遍：某村存在一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請(qǐng)問他給不給自己理發(fā)？若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。如果這一次還不容易看出矛盾的原因，請(qǐng)注意，第二次陳述時(shí)，把第一次陳述里的第三個(gè)字 “有”換成了“存在”。其他沒動(dòng)。這樣一換，是不是比較容易看出矛盾的原因了呢？是的，應(yīng)該說這樣一換就比較容易看出，矛盾的原因是假設(shè)了這樣一個(gè)理發(fā)師的存在。因此， 這一矛盾無非說明，具有這種性質(zhì)的理發(fā)師（即恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)）在本村不存在罷了。矛盾的原因找到了，悖論也就不成其悖論了，問題也就解決了。4文字游戲？

但矛盾的原因是怎樣找到的呢？我們把“有”換成了“存在”。這是不是文字游戲，是不是偷換概念，是不是改變了問題呢？當(dāng)然不是?！坝小本褪恰按嬖凇?。把“有”換成“存在”，沒有改變問題，只是用語更科學(xué)、更醒目，使人注意到，原來這里隱藏著一個(gè)“存在”的假設(shè)。假設(shè)，或者說前提，對(duì)推理是至關(guān)重要的。知道有假設(shè)，推出矛盾就不會(huì)大驚小怪，無非說明假設(shè)不正確罷了。但若不知道有假設(shè)，推出矛盾就會(huì)無法解釋，就要驚呼為悖論了。因此，千萬不要丟失、模糊任何假設(shè)。5引經(jīng)據(jù)典

按說理發(fā)師悖論這樣就解決了。不過人們可能不太放心，問題破解得太容易了：只換了一個(gè)詞“存在”，就啟發(fā)、導(dǎo)致了答案。這個(gè)答案太平淡無奇了。為了讓人徹底相信，這個(gè)答案一點(diǎn)也不平淡，問題確實(shí)出在存在性上，讓我們引經(jīng)據(jù)典，回顧集合論創(chuàng)始人康托的一個(gè)定理。為此先要回顧一下集合論的幾個(gè)概念：映射、滿射、子集的集。設(shè)X和Y為兩個(gè)集。所謂一個(gè)從X到Y(jié)的映射f: X→Y是指一個(gè)法則，它對(duì)X中的每一x，指定Y中唯一一個(gè)元素。這個(gè)為x指定的唯一元素稱作x在f下的像，記為f(x)。稱X為映射的定義域，Y為映射的值域。如果值域Y中的每一個(gè)元素都是定義域X中某個(gè)元素的像，就稱f是一個(gè)滿射。如圖所示：

我們還需要一個(gè)概念：子集所成的集。設(shè)X為一個(gè)集。用P(X)表示集X的所有子集所成的集。例如，若X={1, 2, 3}，則。6康托定理

康托定理對(duì)任何集X，不存在從X到P(X)的滿射。證明任取一個(gè)映射f: X→P(X)。要證f不是滿射。為此令

我們來證明，不存在z∈X，使得f(z)=C。為此用反證法。假設(shè)存在z∈X，使得f(z)=C。那么，若z?C，則z∈f(z)。但f(z)=C，故z∈C。矛盾。若z∈C，則z?f(z)。但f(z)=C，故z?C。也矛盾。這說明不存在z∈X，使得f(z)=C。故f不是滿射，康托定理得證?？低卸ɡ硎羌险撟钤?，也最重要的定理之一。這個(gè)定理之優(yōu)美，大概可以代表人類的智慧。這個(gè)定理一般放在大學(xué)數(shù)學(xué)系的三年級(jí)課程《實(shí)變函數(shù)論》中講，但它幾乎不用什么基礎(chǔ)知識(shí)，是中學(xué)生可以理解、欣賞的?？低卸ɡ淼年愂鲆话銥?，“不存在從X到P(X)的一一對(duì)應(yīng)”，但實(shí)際上不存在滿射。不存在滿射當(dāng)然就更不存在一一對(duì)應(yīng)。7康托定理與理發(fā)師悖論的比較

康托定理與理發(fā)師悖論有什么關(guān)系呢？我們來給康托定理一個(gè)“理發(fā)”的解釋。用表示該村的人的集。對(duì)每一村民x，用f(x)表示村里被x理發(fā)的那些人的集，即x的“顧客集”。那么康托所考慮的集合

不存在z∈X，使得f(z)=C。翻譯成理發(fā)的語言就是：村里不存在這樣的理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。這是康托證明的一個(gè)深刻的事實(shí)。讓我們把康托推理的過程也翻譯成理發(fā)的語言看看：若z?C，則z∈f(z)。但f(z)=C，故z∈C。矛盾。（若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。）若z∈C，則z?f(z)。但f(z)=C，故z?C。也矛盾。（若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。）可見，理發(fā)師推理就是康托推理。8評(píng) 述

那么，為什么康托定理與理發(fā)師悖論一個(gè)是定理，一個(gè)是悖論呢？康托明確寫道，這樣一個(gè)z的存在只是假設(shè)。所以推出矛盾毫不驚訝，而是立即做出結(jié)論：不存在這樣一個(gè)z。理發(fā)師悖論卻用日常語言的“有”模糊了科學(xué)語言的“存在”?！按嬖凇睋Q成“有”以后，就不知不覺從假設(shè)變成了天經(jīng)地義，于是矛盾無法解釋，成了“悖論”?？梢姡覀?cè)谇懊姘选坝小睋Q回成“存在”，確實(shí)不是文字游戲。理發(fā)師悖論的問題確實(shí)出在存在性上。但說“換回”對(duì)嗎？誰先誰后呢？康托定理（1895），理發(fā)師悖論（1907），康托在先。因此，說“換回”是對(duì)的?？低猩羁痰刈C明了，不存在這樣一個(gè)古怪的理發(fā)師。12年后，理發(fā)師悖論全盤照收了康托的推理過程，卻模糊了康托的存在性假設(shè)，致使矛盾無法解釋，造成“悖論”。這不像個(gè)惡作劇嗎？9關(guān)于羅素悖論

讀者可能知道羅素悖論，聽說過“理發(fā)師悖論是羅素悖論的通俗版”的說法。如上所述，理發(fā)師悖論幾乎是對(duì)康托定理的一個(gè)惡作劇。那么羅素悖論呢？這個(gè)問題留給讀者追蹤、思考最好。但急于知道答案是人類的優(yōu)良天性，所以也簡單說明一下：羅素悖論（1902）顯然受到了康托定理的啟發(fā)，但它與理發(fā)師悖論有很大的不同。它的假設(shè)隱蔽得多，以致當(dāng)時(shí)的集合論無法察覺。當(dāng)然該假設(shè)最終還是被后來的集合論徹底破解了，所以羅素悖論早已不再是悖論了。但羅素悖論極大地刺激了當(dāng)時(shí)的集合論，對(duì)集合論的進(jìn)步有重大的意義?！竞笥洝科鋵?shí)，像理發(fā)師悖論這樣易于破解的“悖論”可以要多少有多少，都是對(duì)康托定理的惡作劇。比如“恰愛那些不愛自己的人”，“恰恨那些不恨自己的人”，“恰表揚(yáng)那些不表揚(yáng)自己的人”，“恰批評(píng)那些不批評(píng)自己的人”，“恰修理那些不修理自己的機(jī)器人”，“恰引用那些不引用自己的書”，等等等等。理發(fā)作為這些“反身及物動(dòng)詞”中的一個(gè)只是特別生動(dòng)形象罷了。本文根據(jù)文蘭院士在雙流棠湖中學(xué)所做公眾報(bào)告整理成文。原文發(fā)表于《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第12期，原標(biāo)題為《康托定理與理發(fā)師悖論》。

標(biāo)簽： 理發(fā)師悖論 無法解釋 文字游戲